AMC 10 知识点整理

代数基础

1. 代数式

基本运算律：

• 交换律：\( a + b = b + a \)，\( ab = ba \)
• 结合律：\( (a + b) + c = a + (b + c) \)，\( (ab)c = a(bc) \)
• 分配律：\( a(b + c) = ab + ac \)

同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项

2. 指数与根式

基本公式：

• \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
• \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
• \( (a^m)^n = a^{mn} \)
• \( (ab)^n = a^n b^n \)
• \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)
• \( a^0 = 1 \) (a ≠ 0)
• \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
• \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \)

根式化简

将根式化为最简形式：

方程与方程组

1. 一元一次方程

标准形式：\( ax + b = 0 \) (a ≠ 0)

解法：移项、合并同类项、系数化为1

一元一次方程的应用

解决实际问题：

2. 二元一次方程组

基本解法：

• 代入消元法
• 加减消元法

三元一次方程组

含有三个未知数的线性方程组：

不等式

1. 一元一次不等式

基本性质：

• 若 \( a > b \)，则 \( a + c > b + c \)
• 若 \( a > b \)，\( c > 0 \)，则 \( ac > bc \)
• 若 \( a > b \)，\( c < 0 \)，则 \( ac < bc \)

一元一次不等式组

求几个不等式的解集的公共部分：

2. 一元二次不等式

解法步骤：

1. 将不等式右边化为0
2. 分解因式或用求根公式求出对应方程的根
3. 根据二次函数图像确定解集

绝对值不等式

形如 \( |x| < a \) 或 \( |x| > a \) 的不等式：

• \( |x| < a \) (a > 0) ⇔ \( -a < x < a \)
• \( |x| > a \) (a > 0) ⇔ \( x > a \) 或 \( x < -a \)

函数

1. 函数的概念

表示方法：

• 解析法：用数学式子表示函数关系
• 列表法：用表格表示函数关系
• 图像法：用图像表示函数关系

函数的定义域和值域

定义域：自变量x的取值范围
值域：函数值y的取值范围

2. 一次函数

性质：

• 图像是一条直线
• k表示直线的斜率，b表示y轴上的截距
• k > 0 时，函数单调递增；k < 0 时，函数单调递减

一次函数的应用

解决实际问题：

3. 二次函数

性质：

• 图像是一条抛物线
• 对称轴：\( x = -\frac{b}{2a} \)
• 顶点坐标：\( \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac – b^2}{4a}\right) \)
• a > 0 时，开口向上，有最小值；a < 0 时，开口向下，有最大值

二次函数的最值

利用配方法或顶点公式求最值：

多项式

1. 因式分解

提公因式法

提取各项的公共因子：

公式法

常用公式：

• 平方差：\( a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \)
• 完全平方：\( a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 \)
• 立方和：\( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) \)
• 立方差：\( a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \)

2. 十字相乘法

方法：寻找两个数 \( p, q \) 使得：

• \( p \cdot q = a \cdot c \)
• \( p + q = b \)

3. 余数定理与因式定理

综合除法

用于多项式除法的简便算法：

4. 韦达定理

对称多项式：

• 二元：\( x + y \)，\( xy \)
• 三元：\( x + y + z \)，\( xy + yz + zx \)，\( xyz \)

韦达定理推广

数列与级数

1. 等差数列

通项公式：\( a_n = a_1 + (n-1)d \)

前n项和：\( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] \)

等差中项

若 \( a, b, c \) 成等差数列，则 \( b = \frac{a + c}{2} \)

2. 等比数列

通项公式：\( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \)

前n项和：\( S_n = \begin{cases} na_1 & \text{if } r = 1 \\ \frac{a_1(1 – r^n)}{1 – r} & \text{if } r \neq 1 \end{cases} \)

等比中项

若 \( a, b, c \) 成等比数列，则 \( b^2 = ac \)

3. 递推数列

常见类型：

• 线性递推：\( a_{n+1} = pa_n + q \)
• 齐次线性递推：\( a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n \)

特征根法

用于解齐次线性递推关系：

组合计数

1. 基本计数原理

应用场景：

• 加法原理：分类讨论
• 乘法原理：分步完成

排列与组合

2. 容斥原理

多重容斥

处理多个条件的计数问题：

3. 格点路径计数

基本模型：

• 从(0,0)到(m,n)只能向右或向上走：
  路径数 = \( C(m+n, m) \)
• 不能经过某点的路径数 = 总路径数 – 经过该点的路径数

4. 隔板法

基本模型：

• 将n个相同物品分给k个不同对象，每个对象至少一个：
  \( C(n-1, k-1) \)
• 将n个相同物品分给k个不同对象，允许为空：
  \( C(n+k-1, k-1) \)

限制条件

处理有上限限制的分配问题：

概率

1. 古典概型

基本性质：

• \( 0 \leq P(E) \leq 1 \)
• \( P(\text{必然事件}) = 1 \)
• \( P(\text{不可能事件}) = 0 \)
• \( P(E) + P(\text{非}E) = 1 \)

几何概率

利用几何度量（长度、面积、体积）计算概率

2. 独立事件与互斥事件

概率公式：

• 独立事件：\( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)
• 互斥事件：\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)

条件概率

3. 期望

基本性质：

• 线性性：\( E(aX + b) = aE(X) + b \)
• 独立随机变量和：\( E(X + Y) = E(X) + E(Y) \)

线性期望

期望的线性性质在解决复杂问题时很有用：

平面几何

1. 角度计算

基本定理：

• 三角形内角和为180°
• 四边形内角和为360°
• 平行线的同位角、内错角相等
• 圆周角定理：圆周角等于其所对圆心角的一半

外角定理

2. 面积计算

基本公式：

• 三角形：\( S = \frac{1}{2}bh \)（底×高÷2）
• 平行四边形：\( S = bh \)
• 梯形：\( S = \frac{1}{2}(a+b)h \)
• 圆：\( S = \pi r^2 \)

海伦公式

3. 相似与全等

相似三角形判定：

• AA（两角对应相等）
• SAS（两边对应成比例且夹角相等）
• SSS（三边对应成比例）

全等三角形判定

• SSS
• SAS
• ASA
• AAS
• HL（直角三角形）

三角形专题

1. 三角形面积

常用公式：

• 底×高÷2：\( S = \frac{1}{2}bh \)
• 两边及夹角：\( S = \frac{1}{2}ab\sin C \)
• 海伦公式：\( S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)，\( s = \frac{a+b+c}{2} \)

海伦公式应用

适用于已知三边长的情况：

2. 三角形重要线段

中线性质：

• 连接顶点与对边中点的线段
• 三条中线交于重心
• 重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍

角平分线定理

3. 特殊三角形

直角三角形：

• 勾股定理：\( a^2 + b^2 = c^2 \)
• 30°-60°-90°三角形：边长比 \( 1:\sqrt{3}:2 \)
• 45°-45°-90°三角形：边长比 \( 1:1:\sqrt{2} \)

圆的性质

1. 圆的基本性质

基本元素：

• 圆心：定点O
• 半径：定长r
• 直径：通过圆心的弦，d = 2r
• 弦：圆上任意两点间的线段
• 弧：圆上两点间的部分

圆周角定理

2. 切线性质

基本性质：

• 切线垂直于过切点的半径
• 从圆外一点引圆的两条切线长相等

弦切角定理

3. 相交弦定理

割线定理

四边形

1. 平行四边形

性质：

• 对边相等
• 对角相等
• 对角线互相平分
• 邻角互补

面积计算

平行四边形面积 = 底 × 高

2. 矩形、菱形、正方形

矩形：

• 四个角都是直角
• 对角线相等
• 面积 = 长 × 宽

菱形：

• 四条边都相等
• 对角线互相垂直平分
• 面积 = \( \frac{1}{2} \times \)对角线乘积

正方形：

• 四条边都相等，四个角都是直角
• 对角线相等且互相垂直平分
• 面积 = 边长² = \( \frac{对角线^2}{2} \)

3. 梯形

等腰梯形：

• 两腰相等
• 同一底上的两个角相等
• 对角线相等

中位线定理

4. 四边形面积公式

鞋带公式（坐标法）：

顶点坐标为 \( (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), (x_4,y_4) \)
面积 = \( \frac{1}{2}|x_1(y_2-y_4) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_4-y_2) + x_4(y_1-y_3)| \)

布雷契奈德公式

四边形面积 = \( \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) – abcd \cos^2\frac{A+C}{2}} \)
其中s为半周长

坐标几何

1. 基本公式

距离公式：

两点 \( (x_1,y_1) \) 和 \( (x_2,y_2) \) 间距离：
\( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)

中点公式

两点 \( (x_1,y_1) \) 和 \( (x_2,y_2) \) 的中点：
\( \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \)

重心坐标

三角形三顶点 \( (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3) \) 的重心：
\( \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \)

2. 直线方程

常用形式：

• 斜截式：\( y = mx + b \)
• 点斜式：\( y – y_1 = m(x – x_1) \)
• 两点式：\( \frac{y – y_1}{y_2 – y_1} = \frac{x – x_1}{x_2 – x_1} \)
• 一般式：\( Ax + By + C = 0 \)

斜率

直线斜率：\( m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \)

性质：

• 平行直线斜率相等
• 垂直直线斜率乘积为-1
• 水平线斜率为0
• 竖直线斜率不存在

3. 点到直线距离

公式：点 \( (x_0, y_0) \) 到直线 \( Ax + By + C = 0 \) 的距离：
\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)

两平行线间距离

公式：两平行线 \( Ax + By + C_1 = 0 \) 和 \( Ax + By + C_2 = 0 \) 间距离：
\( d = \frac{|C_1 – C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)

4. 对称问题

常见类型：

1. 点关于点对称（中点公式逆用）
2. 点关于直线对称（垂直平分）
3. 求垂足
4. 利用中点公式求对称点

图形变换

• 平移：\( (x,y) \rightarrow (x+h, y+k) \)
• 旋转：绕原点旋转θ角
  \( (x,y) \rightarrow (x\cos\theta – y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta) \)
• 缩放：\( (x,y) \rightarrow (kx, ky) \)